Lasalle’s invariance principle（拉塞尔不变性原理） - Something TO DO
Lasalle’s invariance principle（拉塞尔不变性原理）
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posted @ 2015年4月20日 21:10
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木有好的中文资料啊，自己写一个，帮助理解。
原英文版本请参考[1].
拉塞尔定理能够在系统的$-\dot{V}(x,t)$不是局部正定的情况下得出一个平衡点是渐进稳定的。但是，他只能应用于自治或者周期性的系统。在讨论自治系统的例子之前先介绍几个定义。
自治系统描述为：
\[\dot{x}=f(x)\]
把它的解轨迹表示为$s(t,x_0,t_0)$，也是上述方程从$t_0$时的状态$x_0$到$t$时刻的状态解。
定义1 $w$ 极限集
如果对于每个$y\in S$，都存在一个严格递增的时间序列$t_n$,当$t_n\rightarrow \infty$时，满足
\[s(t_n,x_0,t_0)\rightarrow y\]
那么，集合$S\subset R^n$是轨迹$s(\cdot,x_0,t_0)$的$w$极限集。
定义2 不变集
集合$M\subset R^n$是一个（正）不变集，如果对于所有的$y\in M$ 和$t_0\leq 0$, 满足
\[s(t,y,t_0)\in M \forall t\geq t_0\]
我们可以证明每条轨迹的$w$极限集是闭合且不变集。
定理 拉塞尔原理
设$V:R^n\rightarrow R$是一个局部正定函数，那么在紧集$\Omega_c=\{x\in R^n:V(x)\leq c\}$上可得到$\dot{V}(x)\leq 0$.定义
\[S=\{x\in \Omega_c:\dot{V}(x)=0\}\]
当$t\rightarrow\infty$时，轨迹趋向于$S$中的最大不变集。比如它的$w$极限集是包含在$S$的最大不变集中的。尤其是在$S$除了包含$x=0$之外没有其他不变集，那么$0$就是渐进稳定的。
一个例子：带阻尼的非线性弹簧质量系统
很经典的一个例子啦。
考虑一个带有单位质量负重的非线性弹簧系统，这个弹簧系统的阻尼是与速度相关的。
如果$x_1$是负重的位置，$x_2$表示其速度，那么系统描述为:
\[\dot{x}_1=x_2\]
\[\dot{x}_2=-f(x_2)-g(x_1)\]
其中函数$f$是对于阻尼中摩擦力的建模，$g$是弹簧的恢复力函数，他们都是平滑的。假设函数$f$和$g$满足
\[\sigma f(\sigma)\geq 0 \forall \sigma\in [-\sigma_0,\sigma_0]\]
\[\sigma g(\sigma)\geq 0 \forall \sigma\in [-\sigma_0,\sigma_0]\]
等式只有在$\sigma=0$时成立。
李雅普诺夫候选函数为
\[V(x)=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}g(\sigma)d\sigma\]
passivity of $g$保证了$V(x)$是一个局部正定函数。
我们可以得到
\[\dot{V}(x)=-x_2f(x_2)\]
选择$c=\min (V(-\sigma_0,0),V(\sigma_0,0))$ 应用拉塞尔不变原理，我们可以得到
\[\dot{V}(x)\leq 0 for x\in \Omega_c:=\{x:V(x)\leq c\}\]
拉塞尔不变性原理的结论，轨迹进入到$\Omega_c\cap\{x_1,x_2:\dot{V}=0\}=\Omega_c\cap \{x_1,0\}$的最大不变集中。为了得到这个区域中的最大不变集，记
\[x_2(t)\equiv 0 \rightarrow x_1(t)\equiv x_{10}\rightarrow \dot{x}_2(t)=0=-f(0)-g(x_{10}),\]
其中$x_{10}$是某个常数。最终我们的到
\[g(x_{10})=0\rightarrow x_{10}=0\]
因此$\Omega_c\cap\{x_1,x_2:\dot{V}=0\}$中的最大不变集为原点，根据拉塞尔原理，原点是局部渐进稳定的。
参考文献：
[1]http://www.cds.caltech.edu/~murray/courses/primer-f01/mls-lyap.pdf
2022年8月31日 16:17
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