Lasalle’s invariance principle(拉塞尔不变性原理) - Something TO DO
Lasalle’s invariance principle(拉塞尔不变性原理)
Something TO DO
posted @ 2015年4月20日 21:10
in math
, 26515 阅读
木有好的中文资料啊,自己写一个,帮助理解。
原英文版本请参考[1].
拉塞尔定理能够在系统的$-\dot{V}(x,t)$不是局部正定的情况下得出一个平衡点是渐进稳定的。但是,他只能应用于自治或者周期性的系统。在讨论自治系统的例子之前先介绍几个定义。
自治系统描述为:
\[\dot{x}=f(x)\]
把它的解轨迹表示为$s(t,x_0,t_0)$,也是上述方程从$t_0$时的状态$x_0$到$t$时刻的状态解。
定义1 $w$ 极限集
如果对于每个$y\in S$,都存在一个严格递增的时间序列$t_n$,当$t_n\rightarrow \infty$时,满足
\[s(t_n,x_0,t_0)\rightarrow y\]
那么,集合$S\subset R^n$是轨迹$s(\cdot,x_0,t_0)$的$w$极限集。
定义2 不变集
集合$M\subset R^n$是一个(正)不变集,如果对于所有的$y\in M$ 和$t_0\leq 0$, 满足
\[s(t,y,t_0)\in M \forall t\geq t_0\]
我们可以证明每条轨迹的$w$极限集是闭合且不变集。
定理 拉塞尔原理
设$V:R^n\rightarrow R$是一个局部正定函数,那么在紧集$\Omega_c=\{x\in R^n:V(x)\leq c\}$上可得到$\dot{V}(x)\leq 0$.定义
\[S=\{x\in \Omega_c:\dot{V}(x)=0\}\]
当$t\rightarrow\infty$时,轨迹趋向于$S$中的最大不变集。比如它的$w$极限集是包含在$S$的最大不变集中的。尤其是在$S$除了包含$x=0$之外没有其他不变集,那么$0$就是渐进稳定的。
一个例子:带阻尼的非线性弹簧质量系统
很经典的一个例子啦。
考虑一个带有单位质量负重的非线性弹簧系统,这个弹簧系统的阻尼是与速度相关的。
如果$x_1$是负重的位置,$x_2$表示其速度,那么系统描述为:
\[\dot{x}_1=x_2\]
\[\dot{x}_2=-f(x_2)-g(x_1)\]
其中函数$f$是对于阻尼中摩擦力的建模,$g$是弹簧的恢复力函数,他们都是平滑的。假设函数$f$和$g$满足
\[\sigma f(\sigma)\geq 0 \forall \sigma\in [-\sigma_0,\sigma_0]\]
\[\sigma g(\sigma)\geq 0 \forall \sigma\in [-\sigma_0,\sigma_0]\]
等式只有在$\sigma=0$时成立。
李雅普诺夫候选函数为
\[V(x)=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}g(\sigma)d\sigma\]
passivity of $g$保证了$V(x)$是一个局部正定函数。
我们可以得到
\[\dot{V}(x)=-x_2f(x_2)\]
选择$c=\min (V(-\sigma_0,0),V(\sigma_0,0))$ 应用拉塞尔不变原理,我们可以得到
\[\dot{V}(x)\leq 0 for x\in \Omega_c:=\{x:V(x)\leq c\}\]
拉塞尔不变性原理的结论,轨迹进入到$\Omega_c\cap\{x_1,x_2:\dot{V}=0\}=\Omega_c\cap \{x_1,0\}$的最大不变集中。为了得到这个区域中的最大不变集,记
\[x_2(t)\equiv 0 \rightarrow x_1(t)\equiv x_{10}\rightarrow \dot{x}_2(t)=0=-f(0)-g(x_{10}),\]
其中$x_{10}$是某个常数。最终我们的到
\[g(x_{10})=0\rightarrow x_{10}=0\]
因此$\Omega_c\cap\{x_1,x_2:\dot{V}=0\}$中的最大不变集为原点,根据拉塞尔原理,原点是局部渐进稳定的。
参考文献:
[1]http://www.cds.caltech.edu/~murray/courses/primer-f01/mls-lyap.pdf
2022年8月31日 16:17
Government of Bangladesh, Secondary and Higher Secondary Education Board has successfully completed those Junior School Certificate and Junior Dakil (Grade-8) annual final examination tests between 2nd to 11th November 2022 at all selected centers across the country along with Dhaka Division, Junior Dakil Result Dhaka Board and JSC & JDC Exams 2022 also completed successfully at all district schools of the Dhaka Board. According to the reports, there are a huge number of students are appeared for this Grade 8th standard terminal exams under Dhaka division and they are waiting for JSC Result 2022 Dhaka Board, right now the Secondary and Higher Secondary Education Board Dhaka has conducted the evaluation of answer sheet scripts to calculate subject wise and total marks of the student to announce JSC Result 2022 Dhaka Board.
2023年7月23日 22:56
Etsy ist eine E-Commerce-Plattform, die handgefertigte und antike Dinge sowie kreative Materialien verkauft. Etsy ist eine beliebte Einkaufsseite für Künstler. Betrachten Sie es als eine Online-Handwerksshow. bestellung stornieren etsy Etsy ist eine erfolgreiche E-Commerce-Website. Kunden können handgefertigte Geschenke, Bastelmaterialien und historische Waren von einzelnen Verkäufern finden. Die Produkte werden häufig individuell angepasst und auf Bestellung hergestellt, wodurch jedes Geschenk eine persönliche Note erhält.
2023年7月27日 18:06
SEBA Follows CBSE Curriculum These Textbooks are Updated as per the Syllabus Prescribed by Assam Board. Students of Assam Class Should follow Prescribed Textbooks while Preparing for Exam. Our Team Refer to the Respective Subject Textbook while Preparing the Final Important questions. Students Best Practice Study Materiel about Assam 7th Textbooks 2024 are the Fact that they are so Comprehensible that Assam 7th Class Textbook 2024 it does not require the aid of a Subject Literate.Board of Secondary Education, Assam commonly known as SEBA Regular organization High School Education, Assam State Textbook Production and Publication Corporation